Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：EO=FO；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)；（3）運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)

【解析】試題解析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證．

（3））由OE=OF，OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，則可判斷四邊形AECF為矩形，根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)∠2=45°時(shí)，四邊形AECF為正方形，于是可得∠ACB=90°．

試題解析：（1）證明：∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

又∵M(jìn)N∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，F(xiàn)O=CO，

∴EO=FO；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°．

即∠ECF=90度，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）∵OE=OF，OA=OC，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF為矩形，

當(dāng)∠2=45°時(shí)，四邊形AECF為正方形，

此時(shí)∠ACB=90°，

即當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，△ABC中∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF是正方形．