Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，易知∠ACB=90°. ∠B=∠BCO，可推出∠OCD=90°，可得出結論；（2）可證△ACB∽△ADC，利用對應邊成比例可求得AC的值.

試題解析：（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴，∴AC2=ADAB=1×4=4，∴AC=2．