Question

【題目】已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ， 證明你的結論．
（2）如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足條件時，四邊形EFGH是矩形；證明你的結論．
（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）平行四邊形
（2）互相垂直
（3）

解：菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：

如圖3，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH= BD，FG= BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形．

故答案為：平行四邊形；互相垂直．

【解析】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖1，連結BD．
∵E、H分別是AB、AD中點，
∴EH∥BD，EH= BD，
同理FG∥BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：
如圖2，連結AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；


【考點精析】本題主要考查了矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．