Question

【題目】如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】π

【解析】

試題分析：（1）圖1，作輔助線構建正方形OECF，設圓O的半徑為r，根據切線長定理表示出AD和BD的長，利用AD+BD=5列方程求出半徑=1（a、b是直角邊，c為斜邊），運用圓面積公式=πr2求出面積=π；

（2）圖2，先求斜邊上的高CD的長，再由勾股定理求出AD和BD，利用半徑（a、b是直角邊，c為斜邊）求兩個圓的半徑分別是，從而求出兩圓的面積和=π；

（3）圖3，繼續求高DM和CM、BM，利用半徑（a、b是直角邊，c為斜邊）求三個圓的半徑分別是，從而求出三個圓的面積和=π；

綜上所述：發現S1+S2+S3+…+S10=π．