Question

【題目】如圖, 已知拋物線經過A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）此拋物線有最大值還是最小值？請求出其最大或最小值；

（3）若點D（2，m）在此拋物線上，在y軸的正半軸上是否存在點P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為；（3）符合條件的點的坐標為或．

【解析】分析：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，運用待定系數法即可求出此拋物線的解析式；

（2）由于二次項系數a=-＜0，所以拋物線有最大值，最大值為，代入計算即可；

（3）先將點D（2，m）代入（1）中所求的拋物線的解析式，求出m的值，得到點D的坐標，然后假設在y軸的正半軸上存在點P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三種情況進行討論：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一種情況都可以根據兩點間的距離公式列出關于y的方程，解方程即可．

詳解：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

所以此拋物線的解析式為y=-x2+x+4；

（2）∵y=-x2+x+4，a=-＜0，

∴拋物線有最大值，最大值為；

（3）∵點D（2，m）在拋物線y=-x2+x+4上，

∴m=-×22+2+4=4，

∴D（2，4），

∵B（4，0），

∴BD=．

假設在y軸的正半軸上存在點P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三種情況：

①如果PB=PD，那么42+y2=22+（y-4）2，解得y=，

所以P1（0，）；

②如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2（負值舍去），

所以P2（0，2）；

③如果DP=DB，那么22+（y-4）2=20，解得y=0或8，

y=0不合題意舍去，

y=8時，（0，8）與D，B三點共線，不合題意舍去；

綜上可知，所有符合條件的P點的坐標為P1（0，），P2（0，2）．