Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，求證：BE=EF．

（2）如圖2，當點E不是線段AC的中點，其它條件不變時，請你判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）結論成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，可知△ABC是等邊三角形，因為E是線段AC的中點，所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，由AE=CF得CE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可證明BE=EF.（2）過點E作EG∥BC交AB于點G，可得∠AGE=∠ABC=60°，因為∠BAC=60°，所以△AGE是等邊三角形，可知AG=AE=GE，∠AGE=60°，可知BG=CE，因為CF=AE，所以GE=CF，進而可證明△BGE≌△ECF，即可證明BE=EF.

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是線段AC的中點，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∵∠ECF=120°，

∴∠F=∠CEF=30°

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

（2）結論成立；理由如下：

過點E作EG∥BC交AB于點G，如圖2所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

∵在△BGE和△CEF中，BG=CE，∠BGE=∠ECF，GE=CF，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．