Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，作直線BC，動點P從點C出發，以每秒 個單位長度的速度沿CB向點B運動，運動時間為t秒，當點P與點B重合時停止運動．

（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖2，當t=1時，求S△ACP的面積；
（3）如圖3，過點P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點．
①求PF的長度關于t的函數表達式，并求出PF的長度的最大值；
②連接CF，將△PCF沿CF折疊得到△P′CF，當t為何值時，四邊形PFP′C是菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，

∴ ，解得： ．

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：令x=0，則y=4，

即點C的坐標為（0，4），

∴BC= =4 ．

設直線BC的解析式為y=kx+4，

∵點B的坐標為（4，0），

∴0=4k+4，解得k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

當t=1時，CP= ，

點A（﹣1，0）到直線BC的距離h= = = ，

S△ACP= CPh= × × = ．

（3）

解：①∵直線BC的解析式為y=﹣x+4，

∴CP= t，OE=t，設P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）

PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．

當t=﹣ =2時，PF取最大值，最大值為4．

②∵△PCF沿CF折疊得到△P′CF，

∴PC=P′C，PF=P′F，

當四邊形PFP′C是菱形時，只需PC=PF．

∴ t=﹣t2+4t，

解得：t1=0（舍去），t2=4﹣ ．

故當t=4﹣ 時，四邊形PFP′C是菱形．

【解析】（1）將A、B點的坐標代入函數解析式中，即可得到關于a、b的二元一次方程，解方程即可得出結論；（2）令x=0可得出C點的坐標，設出直線BC解析式y=kx+4，代入B點坐標可求出k值，利用面積法求出點A到直線BC的距離結合三角形的面積，即可得出結論；（3）①由直線BC的解析式為y=﹣x+4可得知OE= CP，設出P、F點的坐標，由F點的縱坐標﹣P點的縱坐標即可得出PF的長度關于t的函數表達式，結合二次函數的性質即可求出最值問題；②由翻轉特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四邊形PFP′C是菱形，則有PC=PF，由此得出關于t的二元一次方程，解方程即可得出結論．