Question

如圖，將一矩形OABC放在直角坐標系中，O為坐標原點．點A在y軸正半軸上．點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），過點E的反比例函數y=

k

x

(x＞0)的圖象與邊BC交于點F．
（1）若△OAE、△OCF的而積分別為S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值．
（2）若OA=2，OC=4，當四邊形AOFE的面積最大時，求點E、F的坐標．

Answer 1

分析：（1）點E、F反比例函數y=

k

x

（k＞0）圖象上的點，S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，可設E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），再由S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF即可得出關于k的一元二次方程，由二次函數的頂點坐標可得出當k=4時，四邊形AOFE的面積最大，故可得出E、F兩點的坐標．

解答：解：（1）∵點E、F反比例函數y=

k

x

（k＞0）圖象上的點，
∴S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，
∴S₁+S₂=

k

2

+

k

2

=2，解得，k=2；
（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，
∴設E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

1

2

k+4，
=-

1

16

（k-4）²+5
∵a＜0，
∴開口向下，S四邊形AOFE有最大值
∴當k=4時，四邊形AOFE的面積最大，
∴AE=

k

2

=2，CF=

k

4

=1．
∴E（2，2），F（4，1）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，根據題意用k表示出E、F兩點的坐標，再根據三角形的面積公式求解是解答此題的關鍵．