Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A(3，0)，B(0，)兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．

(1)求直線AB的解析式；

(2)若S_梯形OBCD＝，求點C的坐標；

(3)在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直線AB解析式為：y＝x＋． 　　(2)方法一：設點C坐標為(x，x＋)，那么OD＝x，CD＝x＋． 　　∴＝＝． 　　由題意：＝，解得(舍去) 　　∴C(2，) 　　方法二：∵，＝， 　　∴． 　　由OA＝OB，得∠BAO＝30°，AD＝CD． 　　∴＝CD×AD＝＝．可得CD＝． 　　∴AD＝1，OD＝2．∴C(2，)． 　　(3)當∠OBP＝Rt∠時，如圖 　　①若△BOP∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝3， 　　∴(3，)． 　　②若△BPO∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝1． 　　∴(1，)． 　　當∠OPB＝Rt∠時 　　③過點O作OP⊥BA于點P(如圖)，此時△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 　　過點P作PM⊥OA于點M． 　　方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． 　　∵在Rt△PMO中，∠OPM＝30°， 　　∴OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴(，)． 　　方法二：設Ｐ(x，x＋)，得OM＝x，PM＝x＋ 　　由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO． 　　∵tan∠POM＝＝＝，tan∠ABO＝＝． 　　∴x＋＝x，解得x＝．此時，(，)． 　　④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP＝∠BAO＝30°，∠POM＝30°． 　　∴PM＝OM＝． 　　∴(，)(由對稱性也可得到點的坐標)． 　　當∠OPB＝Rt∠時，點P在x軸上，不符合要求． 　　綜合得，符合條件的點有四個，分別是： 　　(3，)，(1，)，(，)，(，)．