Question

【題目】（1）（觀察發現）如圖 1，△ABC 和△CDE 都是等邊三角形，且點 B、C、E 在一條直線上，連接 BD 和AE，BD、AE 相交于點 P，則線段 BD 與 AE 的數量關系是 ，BD 與 AE 相交構成的銳角的度數是 .（只要求寫出結論，不必說明理由）

（2）（深入探究 1）如圖 2，△ABC 和△CDE 都是等邊三角形，連接 BD 和 AE，BD、AE 相交于點 P，猜想線段 BD 與 AE 的數量關系，以及 BD 與 AE 相交構成的銳角的度數. 請說明理由 結論：

理由：_______________________

（3）（深入探究 2）如圖 3，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，連接 AD、BE，Q 為 AD 中點，連接 QC 并延長交 BE 于 K. 求證：QK⊥BE.

Answer 1

【答案】（1）BD=AE，60°；

（2）BD=AE，60°；

（3）證明見詳解.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=AE，根據全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠DPE=∠DCE；
（2）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=AE，根據全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根據三角形的內角和定理求出∠DPE=∠DEC；

（3）延長CQ到R，使得CQ=QR，連接AR、DR．只要證明△ACR≌△BCE，可得∠ACR=∠CBE，由∠ACR+∠BCK=90°，推出∠CBE+∠BCK=90°，可得∠CKB=90°，即CK⊥BE．

解：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
由三角形的外角性質，∠DPE=∠AEC+∠DBC，
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

（2）結論BD=AE，∠DPE=60°還成立．
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
∵∠BDC+∠CDE+∠AED

=∠AEC+∠CDE+∠AED

=∠CDE+∠CED

=180°-∠DCE

=180°-60°=120°，
∴∠DPE=180°-（∠BDC+∠CDE+∠AED）=180°-120°=60°；

（3）如圖3中，延長CQ到F，使得CQ=QF，連接AF、DF．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∵Q 為 AD 中點,

∴AQ=DQ，

∵CQ=QF，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∴AF=CD=CE，AF∥CD，
∴∠CAF+∠ACD=180°，
∴∠BCE=∠CAF，∵CA=CB，AF=CE，
∴△ACF≌△BCE，
∴∠ACF=∠CBE，
∵∠ACF+∠BCK=180°-∠ACB =180°-90°=90°，
∴∠CBE+∠BCK=90°，
∴∠CKB=90°，即CK⊥BE．