Question

【題目】如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD2=ABAE．
求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】證明：連接DC，DO并延長交⊙O于F，連接AF．

∵P點為△ABC的內心，

∴∠BAD=∠DAE，

又∵AD2=ABAE，即 = ，

∴△BAD∽△DAE，

∴∠ADB=∠E．

又∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ACB=∠E，BC∥DE，

∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，

又∵∠CAF=∠CDF，

∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，

故DE是⊙O的切線．

【解析】由P點為△ABC的內心，得到∠BAD=∠DAE，又AD2=ABAE，得到△BAD∽△DAE，∠ADB=∠E，又∠ADB=∠ACB，得到∠ACB=∠E，BC∥DE，∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，又∠CAF=∠CDF，得到∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，故DE是⊙O的切線．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．