Question

【題目】菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上．
（1）如圖1，若E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF；
（2）如圖2，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，

∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°﹣∠B=120°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形

【解析】（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據菱形的性質，易得△ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，繼而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；（2）首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的判定和菱形的性質，掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．