Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點C（0，2），動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動，過點D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點E，將△ADE沿DE折疊，使點A落在點F處，設點D的運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）是否存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）設四邊形DECO的面積為s，求s關于t的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），點C（0，2）代入y=ax2+bx+c得， ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ bx+2，

對稱軸為：直線x=﹣ ；

（2）解：存在，

∵AD=2t，

∴DF=AD=2t，

∴OF=4﹣4t，

∴D（2t﹣4，0），

∵直線AC的解析式為：y= x+2，

∴E（2t﹣4，t），

∵△EFC為直角三角形，

①當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，

∴ ，即 = ，

解得：t= ，

②當∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴DE= AF，即t=2t，

∴t=0，（舍去），

③當∠ACF=90°，

則AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，

解得：t= ，

∴存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形，此時，t= 或 ；

（3）解：∵B（1，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，

當D在y軸的左側時，S= （DE+OC）OD= （t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2），

當D在y軸的右側時，如圖2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，

S= （DE+OC）OD= （﹣8t+10+2）（4t﹣4）=﹣16t2+40t﹣24 （2＜t＜ ）．

【解析】（1）利用待定系數法把A、B坐標代入解析式即可；（2）△EFC為直角三角形時須分類討論：①∠EFC=90°②∠FEC=90°，③∠ACF=90°三種情況討論；（3）四邊形DECO 的位置以y 軸為分界線，進行分類討論：D在y軸的左側與D在y軸的右側，OD的表達式發生變化，須分類討論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．