Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，動點P從點A出發，沿路線A﹣B﹣C勻速運動，速度為1cm/s，運動到C點停止，設運動時間為t（s），△APC的面積為y（cm2）．

（1）求△ABC的面積．
（2）求等腰△ABC腰上的高．
（3）請分別求出P在邊AB（0≤t≤5）、BC（5＜t≤11）上運動時，△APC的面積為y（cm2）與運動時間t（s）之間的函數關系式．
（4）是否存在某一時刻t，使得△APC的面積正好是△ABC面積的 ，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（5）當運動時間t（s）為時，（直接填空）△APC為直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過點A作AD⊥BC，

∵AB=AC=5cm，BC=6cm，

∴BD=CD= BC=3，

根據勾股定理得，AD= =4，

∴S△ABC= BCAD= ×6×4=12，

即：△ABC的面積為12；

（2）

解：如圖2，

過點C作CE⊥AB，

∵AB=5

∴S△ABC= ABCE= ×5CE= CE

由（1）知，S△ABC=12，

∴ CE=12，

∴CE= ，

∴等腰△ABC腰上的高為

（3）

解：當點P在邊AB（0≤t≤5）時，

如圖3，

由運動知，AP=t，

∴y=S△APC= APCE= t× = t；

當點P在邊BC（5＜t≤11）時，

如圖4，

由運動知，PC=5+5﹣t=10﹣t，

∴y=S△APC= PCAD= （10﹣t）×4=﹣2t+20

（4）

解：存在，由（1）知，S△ABC=12，

∵△APC的面積正好是△ABC面積的 ，

y= ×12=5

∴當點P在邊AB（0≤t≤5）時，y= t=5，

∴t= ，

當點P在邊BC（5＜t≤11）時，y=﹣2t+20=5，

∴t= ，

即：滿足條件的t= 或

（5）
或7
【解析】（5）∵AB=AC=5cm，BC=6cm，要使△APC為直角三角形，只有∠APC=90°，
當點P在AB上時，如圖2中的點E就是點P，
即：AP=AE，
在Rt△ACE中，AC=5，CE= ，
∴AE= = ，
∴t= s，
當點P在BC上時，如圖1中的點D就是點P，
∴CP=CD=3，
∴（10﹣3）÷1=7s
所以答案是： 或7．