Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），C（0，3）兩點，它的對稱軸與x軸交于點F，過點C作CE∥x軸交拋物線于另一點E，連結EF，AC．

（1）求該拋物線的表達式及點E的坐標；

（2）在線段EF上任取點P，連結OP，作點F關于直線OP的對稱點G，連結EG和PG，當點G恰好落到y軸上時，求△EGP的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，E（2，3）；（2）1.

【解析】

（1）用待定系數法即可求得拋物線的表達式，根據點E與點C是對稱點即可得到E點坐標；

（2）連接FG，過P作PM⊥x軸于M，過E作EN⊥x軸于N，則PM∥EN，易得△CEG與△OFG為等腰直角三角形，則∠EGF=90°，易得EF的解析式為：y=3x﹣3，△POM是等腰直角三角形，可求得P（，），即點P為EF的中點，則S△EGP=S△EGF，再根據三角形的面積公式求解即可.

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）兩點代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴該拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸是：x=1，

∵CE∥x軸，

∴點C與點E是對稱點，

∴E（2，3）；

（2）連接FG，過P作PM⊥x軸于M，過E作EN⊥x軸于N，則PM∥EN，

∵F與G關于OP對稱，且G在y軸上，

∴OF=OG=1，

∴FG=，∠OGF=45°，

∵OC=3，

∴CG=3﹣1=2=CE，

∴△ECG是等腰直角三角形，

∴EG=2，∠CGE=45°，

∴∠EGF=90°，

∵E（2，3），F（1，0），

易得EF的解析式為：y=3x﹣3，

設P（x，3x﹣3），

∵∠POM=45°，

∴△POM是等腰直角三角形，

∴PM=OM，即x=3x﹣3，

解得：x=，

∴P（，），

∴FM=MN=，

∵PM∥EN，

∴FP=EP，

∴S△EGP=S△EGF==1.