Question

【題目】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．已知點的坐標為，點為第二象限內拋物線上的一個動點，連接、、．

（1）求這個拋物線的表達式．

（2）當四邊形面積等于4時，求點的坐標．

（3）①點在平面內，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，直接寫出滿足條件的所有點的坐標；

②在①的條件下，點在拋物線對稱軸上，當時，直接寫出滿足條件的所有點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①，；②，（-1，5）．

【解析】

（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，即3a＝2，解得：a＝，即可求解；

（2）設點P(x，)，根據S＝S四邊形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC=4列出方程即可求解；

(3)①根據等腰直角三角形的性質，構造全等三角形即可求出M的坐標；

②根據題意作圖，根據①所求的M點坐標結合圓周角的性質與等腰直角三角形的性質即可確定N點坐標．

（1）∵拋物線經過點和點

設拋物線的表達式為：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，

∴3a＝2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：；

（2）令x=0，得y=2

∴點C（0，2），

函數(shù)的對稱軸為：x＝- =-1；

連接OP，設點P(x，)，

則S＝S四邊形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC

＝×AO×yp＋×OC×|xP|×CO×OD

＝×3×()＋×2×(x) ×2×1

＝x23x＋2，

∵四邊形面積等于4，

∴x23x＋2=4

解得x1=-1,x2=-2，

∴P或；

(3) ①如圖，∵△CDM1是以CM1為斜邊的等腰直角三角形，

∴CD=DM1，∠CDM=90°，

∴∠QDM1+∠CDO=90°

作M1Q⊥AB于Q點，

∴∠QDM1+∠QM1D=90°

∴∠CDO=∠QM1D

又∠DQM1=∠COD=90°

∴△DQM1≌△COD

QD=CO=2,M1Q=DO=1

∴OD=3, M1Q=1

∴M1（-3，1）

由圖形及等腰直角三角形的性質可知M1、M2關于D點對稱，

設M2（p，q）

∴，

解得p=1，q=-1

∴M2（1，-1）

綜上M的坐標為，；

②如圖，∵=90°，當=可知N點為對稱軸直線x=-1與以圓D為圓心，DM2為半徑的圓的交點，即N1,N2

∵r=DM2=

∴N1(-1，-)，N2（1，）；

如圖，當時，

由①可得,，

∴，CD=DM1=DM2,

∴CM1=CM2,

則△是等腰直角三角形，

則

∴△是等腰直角三角形，

則N3,M2關于C點對稱，

設N3（x,y）

則，

解得x=-1，y=5

∴N3（-1,5）

綜上，N點坐標為：，（-1，5）．