Question

【題目】操作：“如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)（x軸上的點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q．”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱為點(diǎn)的T變換．

（1）點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過(guò)T變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)M經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)N（6，﹣ ），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．
（2）A是函數(shù)y= x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)B．
①求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
②如圖2，直線AB交y軸于點(diǎn)D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

如圖1，連接CQ，過(guò)Q作QD⊥PC于點(diǎn)D，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD= PC= b，DQ= PQ= b，

∴Q（a+ b， b）；

設(shè)M（x，y），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（x+ y， y），

∵N（6，﹣ ），

∴ ，解得 ，

∴M（9，﹣2 ）；

故答案為：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）

（2）

①∵A是函數(shù)y= x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，

∴可取A（2， ），

∴2+ × = ， × = ，

∴B（ ， ），

設(shè)直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，則 k= ，解得k= ，

∴直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y= x；

②設(shè)直線AB解析式為y=k′x+b，

把A、B坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+ ，

∴D（0， ），且A（2， ），B（ ， ），

∴AB= = ，AD= = ，

∴ = = =

【解析】（1）連接CQ可知△PCQ為等邊三角形，過(guò)Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得CD和QD的長(zhǎng)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系可得到點(diǎn)M的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①可取A（2， ），利用T變換可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)示可求得直線OB的函數(shù)表達(dá)式；②由待定系數(shù)示可求得直線AB的解析式，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AB、AD的長(zhǎng)，可求得△OAB的面積與△OAD的面積之比．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)才能正確解答此題．