Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=ax²+bx+3(a≠0)過C、B兩點，交x軸于另一點A，連接AC，且tan∠CAO=3．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P是射線CB上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于Q，設P點橫坐標為t，線段PQ的長為d，求出d與t之間的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，當點P在線段BC上時，設PH=e，已知d，e是以y為未知數的一元二次方程：y²－(m+3)y+(5m²－2m+13)="0" (m為常數)的兩個實數根，點M在拋物線上，連接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及點M的坐標．

Answer 1

(1) y=-x²+2x+3；(2) ；（3）t="1," (1+，2)和(1－，2).

解析試題分析：（1）當x=0時代入拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐標，就可以得出直線的解析式，就可以求出B的坐標，在直角三角形AOC中，由三角形函數值就可以求出OA的值，得出A的坐標，再由待定系數法建立二元一次方程組求出其解就可以得出結論；
（2）分兩種情況討論，當點P在線段CB上時，和如圖3點P在射線BN上時，就有P點的坐標為（t，-t+3），Q點的坐標為（t，-t²+2t+3），就可以得出d與t之間的函數關系式而得出結論；
（3）根據根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質就可以求出結論．
試題解析：（1）當x=0，則y=-x+n=0+n=n，y=ax²+bx+3=3，
∴OC=3=n．
當y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，∠AOC＝90°，tan∠CAO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，
得
，
解得：
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；
(2) 如圖1，

∵P點的橫坐標為t 且PQ垂直于x軸 ∴P點的坐標為(t，－t+3)，
Q點的坐標為(t，－t²+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t²+2t+3)|="|" t²－3t |
∴；
∵d，e是y²－(m+3)y+(5m²－2m+13)=0（m為常數）的兩個實數根，
∴△≥0，即△=(m+3)²－4× (5m²－2m+13)≥0
整理得：△= －4(m－1)²≥0，∵－4(m－1)²≤0，
∴△=0，m=1，
∴ PQ與PH是y²－4y+4=0的兩個實數根，解得y₁=y₂=2
∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"
∴此時Q是拋物線的頂點，
延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四邊形LQMH是平行四邊形，
∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH，∴平行四邊形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，∴點M的縱坐標與P點縱坐標相同，都是2，
∴在y=－x²+2x+3令y=2，得x²－2x－1=0，∴x₁=1+，x₂=1－
綜上：t值為1，M點坐標為(1+，2)和(1－，2)
考點：二次函數綜合題．