Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數（m為常數）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）經過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．

（1）求m的值及拋物線的函數表達式；

（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；

（3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點，試探究是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

【答案】（1）m=，y=x2+x+；（2）E（2， ），SACEF=；E′（+1， ），SACF′E′= ；（3）定值， ＝1.

【解析】試題分析：（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據拋物線對稱性得到B點坐標，根據A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；

（2）存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．如答圖1所示，過點E作EG⊥x軸于點G，構造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質求得E點坐標和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點有兩個，如答圖1所示，不要漏解；

（3）本問較為復雜，如答圖2所示，分幾個步驟解決：

第1步：確定何時△ACP的周長最小．利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的原理解決；

第2步：確定P點坐標P（1，3），從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3﹣k；

第3步：利用根與系數關系求得M1、M2兩點坐標間的關系，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．這一步是為了后續的復雜計算做準備；

第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長度，相互比較即可得到結論： =1為定值．這一步涉及大量的運算，注意不要出錯，否則難以得出最后的結論．

解：（1）∵經過點（﹣3，0），

∴0=+m，解得m=，

∴直線解析式為，C（0， ）．

∵拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（﹣3，0），

∴另一交點為B（5，0），

設拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣5），

∵拋物線經過C（0， ），

∴a3（﹣5），解得a=，

∴拋物線解析式為y=x2+x+；

（2）假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，

（i）當點E在點E位置時，過點E作EG⊥x軸于點G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵，

∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO=，即yE=，

∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0與C點重合，舍去），

∴E（2， ），SACEF=；

（ii）當點E在點E′位置時，過點E′作E′G′⊥x軸于點G′，

同理可求得E′（+1， ），SACF′E′= ．

（3）要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可．

如答圖2，連接BC交x=1于P點，

因為點A、B關于x=1對稱，根據軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）．

∵B（5，0），C（0， ），

∴直線BC解析式為y=x+，

∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．

令經過點P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3﹣k，

則直線的解析式是：y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，

聯立化簡得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，

∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．

根據兩點間距離公式得到：

M1M2= ==

∴M1M2===4（1+k2）．

又M1P===；

同理M2P=

∴M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）．

∴M1PM2P=M1M2，

∴=1為定值．