Question

【題目】如圖，若把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的四個(gè)角（陰影部分）剪掉，得一四邊形A1B1C1D1 ． 試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原來正方形面積的 ，請(qǐng)說明理由．（寫出證明及計(jì)算過程）

Answer 1

【答案】解：∵A1B1C1D1是正方形， ∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1 ，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1 ，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1 ，
∴AA1=D1D，
設(shè)AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根據(jù)勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2 ，
∴正方形A1B1C1D1的面積=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次將四周的直角邊分別為 和 的直角三角形減去即可．

【解析】本題中易證四邊的四個(gè)小直角三角形全等，那么可設(shè)一邊為x，那么另一邊就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的邊長(zhǎng)的平方也就是其面積，然后根據(jù)剩下圖形的面積為原來正方形面積的 ，來列方程求解．