Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點、、的坐標分別為，，．若點從點出發，沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度向點移動，連接并延長到點，使，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．若點在移動的過程中，使成為直角三角形，則點的坐標是__________．

Answer 1

【答案】（5，2），（1）

【解析】

當P位于線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：
①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一個表達式為：PB=6-t，聯立兩式可得t2-2t+5=6-t，即t= ；
②B為直角頂點，得到△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2．

解：能；
①若F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，則BP=6-t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，
而PB的另一個表達式為：PB=6-t，
聯立兩式可得t2-2t+5=6-t，即t=，
P點坐標為（，0），
則F點坐標為：（ 1）；
②B為直角頂點，得到△PFB∽△CPO，且相似比為2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2，
P點坐標為（1，0）．FD=2（t-1）=2，
則F點坐標為（5，2）．
故答案是：（5，2），（1）．