Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心，經過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB=BF．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半徑r及sinB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA、OD，如圖，

∵點D為CE的下半圓弧的中點，

∴OD⊥BC，

∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，

∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切線；

（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4﹣r）2=（ ）2，

解得r1=3，r2=1（舍去）；

∴半徑r=3，

∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=（AB+1）2，

∴AB=4，OB=5，

∴sinB= = ．

【解析】（1）連接OA、OD，如圖，根據垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，則OA⊥AB，然后根據切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線；（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（4﹣r）2=（ ）2 ， 解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2 ， 即AB2+32=（AB+1）2 ， 解方程得到AB=4的值，再根據三角函數定義求出sinB．