Question

【題目】如圖，△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的中線，BD與CE相交于點O，點M、N分別是OB、OC的中點，連接DE、EM、MN、ND．
（1）求證：四邊形DEMN是平行四邊形；
（2）若四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，求邊AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD、CE分別是AC、AB上的中線，

∴點E為線段AB的中點，點D為線段AC的中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥BC，且BC=2DE．

∵點M、N分別是OB、OC的中點，

∴MN為△OBC的中位線，

∴MN∥BC，且BC=2MN．

∴DE∥MN，DE=MN，

∴四邊形DEMN是平行四邊形

（2）作BC邊上的中線AF，交BD于M，連接DF，

∵BD、AF是邊AC、BC上的中線，

∴DF∥BA，DF= BA．

∴△MDF∽△MBA，

∴ = ，

即BD=3DM，

∵四邊形DEMN是菱形，且BC=4cm，AC=6cm，

∴EM=DN=MN=2cm，

∴AB=AC=6cm．

【解析】（1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題證明即可．（2）根據三角形的中位線定理，得DF∥BA，DF= BA．根據平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
【考點精析】利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．