Question

【題目】如圖，已知E、F分別為平行四邊形ABCD的對邊AD、BC上的點，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于點O，求證：

（1）EM=FN；

（2）EF與MN互相平分．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，得出∠EAM=∠FCN，AE=CF，由AAS證明△AEM≌△CFN，得出對應邊相等即可；

（2）連接EN、FM，求出EM=FN，EM∥FN，得出平行四邊形EMFN，根據平行四邊形的性質得出即可．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中，，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN；

（2）連接EN、FM，如圖所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四邊形EMFN是平行四邊形，

∴EF與MN互相平分．