Question

【題目】如圖，平分，且，垂足分別是，連結與交于點．

（1）求證：是線段的垂直平分線；

（2）若，求的周長和四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的判定定理證明點E，點O都在線段CD的垂直平分線上，即可得到是線段的垂直平分線；

（2）先證明△OCD是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質即可得出周長及面積．

（1）證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE=DE，

∴點E是在線段CD的垂直平分線上．

在Rt△OCE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，

∴OC=OD，

∴點O是在線段CD的垂直平分線上，

∴OE是線段CD的垂直平分線．

（2）解：∵∠ECD=30°，∠OCE=90°，

∴∠OCD=60°．

∵OC=OD，

∴△OCD是等邊三角形．

∵OC=，

∴△OCD的周長為3

∵∠OCD=60°，

∴∠COE=30°，

∴OE=2CE．

設CE=x，則OE=2x．

由勾股定理，得(2x)2=x2＋()2，

解得：x=1，即CE=1，

∴四邊形OCED的面積=2S△OCE=2×·OC·EC==