Question

【題目】探究：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過點C，且點A、B在直線l的同側，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．求證：DE=AD+BE．

應用：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過點C，且點A、B在直線l的異側，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．直接寫出線段AD、BE、DE之間的相等關系．

Answer 1

【答案】探究：證明見解析；應用： AD=BE﹣DE，理由見解析.

【解析】

根據(jù)垂直得出∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，根據(jù)三角形的內角和定理和鄰補角得出∠DAC=∠ECB，根據(jù)AAS證△ADC≌△CEB，推出AD=CE，DC=BE，代入即可．

①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=180°﹣90°=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE．

②AD=BE﹣DE，理由如下：

∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．

又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．

在△ACD與△CBE中，∵∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE．

又∵CE=CD﹣DE，∴AD=BE﹣DE．