Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，與y軸負半軸交于點C．下面五個結論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當a= 時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個．那么，其中正確的結論是_____．

Answer 1

【答案】①④

【解析】.①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對稱軸x= =1，

即2a+b=0；

故①正確；

②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而＞0

∴b＜0，

∵對稱軸x=1，

∴當x=1時，y＜0，

∴a+b+c＜0；

故②錯誤；

③∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴當x=2時y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

又∵b＜0，

∴4a+b+c無法確定；

故③錯誤；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；

D到x軸的距離就是當x=1時y的值的絕對值．

當x=1時，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵當x=1時y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴當x=﹣1時y=0即a﹣b+c=0；

x=3時y=0．

∴9a+3b+c=0，

解這三個方程可得：b=﹣1，a= ，c=﹣；

故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當AB=BC=4時，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣ ，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a= ；

同理當AB=AC=4時，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a= ；

同理當AC=BC時

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．故⑤錯誤．

所以正確的額結論有：①④