Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E．

（1）求證：BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞點A旋轉到圖2位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關系如何，請證明；
（3）若直線AE繞點A旋轉到圖3時（BD＞CE），其余條件不變，BD與DE，CE的關系怎樣？請直接寫出結果，不須證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABD和△CAE中，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD．
又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．又AE=AD+DE，∴AE=DE+CE，即BD=DE+CE
（2）解：BD=DE﹣CE．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA．∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即 BD=DE﹣CE
（3）解：同理：BD=DE﹣CE
【解析】（1）根據已知條件證明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，則結論可得；（2）關系是：BD=DE﹣CE，證明方法同（1）；（3）同理：BD=DE﹣CE。