Question

【題目】如圖①，在中，已知分別是上的兩點，且．．

求梯形的面積；

如圖②，有一梯形與梯形重合，固定，將梯形向右運動，當點D與點C重合時梯形停止運動；

①若某時段運動后形成的四邊形中，求運動路程的長，并求此時的值；

②設運動中的長度為，試用含的代數式表示梯形與重合部分面積．

Answer 1

【答案】（1）梯形的面積為16；（2）①BD＝4，G′B2；②當0≤x＜時，S＝；當≤x≤時，S＝．

【解析】

（1）在Rt△ABC中由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB＝45°，又由GF∥BC得到∠AGF＝∠AFG＝45°，由此得到AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，然后根據S梯形BCFG＝S△ABCS△AGF進行計算；

（2）①根據平移可知BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD＝BG＝4，如圖③，過點G′作G′M⊥BC于點M，在Rt△G′DM中，求出DM＝G'M＝，接著得到BM＝，然后在Rt△G′BM中，根據勾股定理可以求出G'B2；②在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，當0≤x＜時，其重合部分為梯形，如圖②，過G點作GH垂直BC于點H，得GH＝，而BD＝GG′＝x，DC＝，G'F'＝，根據梯形面積公式即可用x表示S；當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③，斜邊DC＝，斜邊上的高為，根據三角形面積公式即可用x表示S．

解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵GF∥BC，

∴∠AGF＝∠AFG＝45°，

∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，

∴S梯形BCFG＝S△ABCS△AGF＝×6×6×2×2＝16；

（2）①∵在運動過程中有DG′∥BG且DG′＝BG，

∴BDG′G是平行四邊形，

當DG⊥BG′時，BDG′G是菱形，

∴BD＝BG＝4，

如圖③，當BDG′G為菱形時，過點G′作G′M⊥BC于點M，

在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，

∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，

∴DM＝G′M＝，

∴BM＝，

連接G′B．

在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；

②在Rt△AGF與Rt△ABC中，GF＝，BC＝，

當0≤x＜時，其重合部分為梯形，如圖②，

過G點作GH垂直BC于點H，則GH＝，

∵BD＝GG′＝x，

∴DC＝，G′F′＝，

∴S＝；

當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③，

∵斜邊DC＝，

∴斜邊上的高為，

∴S＝．