Question

已知，如圖，直角坐標系內的矩形ABCD，頂點A的坐標為（0，3），BC=2AB，P為AD邊上一動點（與點A、D不重合），以點P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點F，過P、F作直線L，交BC邊于點E，當點P運動到點P₁位置時，直線L恰好經過點B，此時直線的解析式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的長；
（2）設AP=m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數關系式，寫出自變量m的取值范圍；
（3）以點E為圓心作⊙E與x軸相切．
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種位置關系，并求出AP相應的取值范圍；
②當直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比值為3：5時，則⊙P和⊙E的位置關系如何并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求BC、AP₁的長，因為BC=2AB，可以根據直線的解析式是y=2x+1，確定B、P₁的坐標，得出AB的距離，從而求出；
（2）根據梯形PECD的面積公式求出PD、EC、CD的長，從而求出S與m之間的函數關系式，及自變量m的取值范圍；
（3）根據圓與圓的位置關系，圓心距＞兩圓的半徑時外離，圓心距=兩圓的半徑時相切，圓心距＜兩圓的半徑時相交，求出AP相應的取值范圍，確定⊙P和⊙E的位置關系．

解答：解：（1）BC=4，AP₁=1．y=2x+1，可以求出B（0，1），P₁（1，3），AB=3-1=2，BC=2AB=4，AP₁=1；

（2）S=9-2m；
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）；

（3）①在RT△ABP₁中，
∵AB=2，AP₁=1，
∴BP₁=

5

，點P在AD上運動時，PF=PE-EF=

5

-1，
當⊙P和⊙E相切時，PF=PE-EF=

5

-1；
∵RT△APF∽RT△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5-

5

，
∴當1≤m＜5-

5

時，兩圓外離，
當m=5-

5

時，兩圓外切，
當5-

5

＜m＜4時，兩圓相交．
②外離或相交．理由如下：
∵矩形ABCD的面積是8，且直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比值為3：5，
∴S_{四邊形PECD}=5或者S_{四邊形PECD}=3，
當S_{四邊形PECD}=5時，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5-

5

，
∴此時兩圓外離．
當S_{四邊形PECD}=3時，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5-

5

＜AP＜4，
∴此時兩圓相交．

點評：本題綜合考查了函數解析式，及直線與圓、圓與圓的位置關系．圓與圓的位置關系有：相離（外離，內含），相交、相切（外切、內切），直線和圓的位置關系有：相交、相切、相離，所以這樣一來，我們在分析過程中不能忽略所有的可能情況．