Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E，F分別在AC，BC邊上運動（點E不與點A，C重合），且保持ED⊥FD，連接DE，DF，EF，在此運動變化的過程中，有下列結論：

①AE=CF；

②EF最大值為2；

③四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化；

④點C到線段EF的最大距離為．

其中結論正確的有 （把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：如圖，連接CD．

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∵D是AB的中點，

∴CD=AD=BD，∠ADC=90°，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠1+∠2=90°，

∵ED⊥FD，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF；

故①正確；

（2）設CE=x，則CF=AE=4﹣x，

在Rt△CEF中，EF=，

∵2（x﹣2）2+8有最小值，最小值為8，

∴EF有最小值，最小值為．

故②錯誤；

③由①知，△ADE≌△CDF，

∴S四邊形EDFC=S△EDC+S△FDC=S△EDC+S△ADE=S△ADC，

∴四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化．

故③正確；

④由①可知，△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DE，

當EF∥AB時，∵AE=CF，

∴E，F分別是AC，BC的中點，

故EF是△ABC的中位線，

∴EF取最小值=，

∵CE=CF=2，

∴此時點C到線段EF的最大距離為．

故④正確．

故答案為：①③④．