Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線y=+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．

(1)、求b,c的值；

(2)、點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；

(3)、在（2）的條件下：①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、b=－2；c=－3；(2)、（，）；(3)、；，（

【解析】

試題分析：(1)、根據題意求出點A、點B的坐標，然后代入解析式求出b、c的值；(2)、射線求出直線AB的解析式，設出點E和F的坐標，求出EF的長度，然后根據函數的性質求出最值；(3)、首先求出點D和點F的坐標，將四邊形的面積轉化成△BEF和△DEF進行求解；過點E作a⊥EF交拋物線與點P，設出點P的坐標，解出方程；過F作b⊥EF交拋物線與點P，設出點P的坐標，解出方程.

試題解析：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）∵二次函數y=+bx+c的圖像經過點A（-1，0）B(4,5)

∴ 解得：b=-2 c=-3

(2)、如圖：∵直線AB經過點A（-1，0） B(4,5) ∴直線AB的解析式為：y=x+1

∵二次函數y=－2x－3 ∴設點E(t，t+1),則F（t，－2t－3）

∴EF=(t+1)－(－2t－3)=

∴當時，EF的最大值= ∴點E的坐標為（，）

①如圖：

順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD．

可求出點F的坐標（，）,點D的坐標為（1，-4）

S=S+S

==

②如圖：ⅰ)過點E作a⊥EF交拋物線于點P,設點P(m,)則有：解得:, ∴,

ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于，設（n，）則有：

解得： ，（與點F重合，舍去）∴

綜上所述：所有點P的坐標：，（能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．