Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知y1關于x的二次函數y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且在y軸的左側，函數值y1隨著自變量x的增大而增大．

（1）填空：a 0，b 0，c 0（用不等號連接）；

（2）已知一次函數y2=ax+b，當﹣1≤x≤1時，y2的最小值為﹣且y1≤1，求y1關于x的函數解析式；

（3）設二次函數y1=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），且當a≠﹣1時，一次函數y3=2cx+b﹣a與y4=x﹣c（m≠0）的圖象在第一象限內沒有交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）＜，≤，＞．(2) y1關于x的函數解析式為y=﹣x．(3) m＜0或0＜m≤2．

【解析】

試題分析：（1）根據開口方向確定a的正負，再根據對稱軸的位置確定b的值，根據y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），得到c=1，由此即可判斷．（2）根據題意一次函數y2=ax+b的圖象經過點（1，﹣），二次函數y1=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是y軸，由此即可解決問題．（3）根據題意可知y3=2x+1，y4=mx﹣1，根據題意即可解決問題．

試題解析：（1）由題意拋物線的對稱軸在y軸的值右側或y軸，開口向下，

∴a＜0，﹣≥0，

∴b≥0，

∵y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），

∴c=1＞0，

∴a＜0，b≥0，c＞0.

（2）∵y2=ax+b，當﹣1≤x≤1時，y2的最小值為﹣，

∴x=1時，y=﹣，即a+b=﹣，

∵y1≤1，

∴（0，1）是拋物線的頂點，

∴對稱軸是y軸，

∴b=0，

∴a=﹣，

∴y1關于x的函數解析式為y=﹣x．

（3）∵二次函數y1=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），

∴a﹣b+1=0，

∴b﹣a=1，a+1=b，∵c=1，a≠0，

∴y3=2x+1，y4=mx﹣1，

∵直線y3=2x+1與直線y4=mx﹣1的圖象在第一象限內沒有交點，

∴m＜0或0＜m≤2．