Question

【題目】如圖，O為坐標原點，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB= ，反比例函數y= 在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于（　　）

A.60
B.80
C.30
D.40

Answer 1

【答案】D
【解析】解：過點A作AM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，如圖所示．

設OA=a，BF=b，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ，∴AM=OAsin∠AOB= a，OM= = a，∴點A的坐標為（ a， a）．∵點A在反比例函數y= 的圖象上，∴ a× a= =48，
解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．
∴AM=8，OM=6．
∵四邊形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA，
∴∠FBN=∠AOB．
在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN= ，∠BNF=90°，∴FN=BFsin∠FBN= b，BN= = b，∴點F的坐標為（10+ b， b）．∵點B在反比例函數y= 的圖象上，∴（10+ b）× b=48，解得：b= ，或b= （舍去）．∴FN= ，BN= ﹣5，MN=OB+BN﹣OM= ﹣1．S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF= （AM+FN）MN= （8+ ）×（ ﹣1）= ×（ +1）×（ ﹣1）=40．
故選D．
過點A作AM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，設OA=a，BF=b，通過解直角三角形分別找出點A、F的坐標，結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出a、b的值，通過分割圖形求面積，最終找出△AOF的面積等于梯形AMNF的面積，利用梯形的面積公式即可得出結論．本題考查了反比例函數與一次函數交點的問題、解直角三角形、梯形的面積公式以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是求出S梯形AMNF ． 本題屬于中檔題，難度不大，但數據較繁瑣，解決該題型題目時，通過分割圖形求面積法找出所求三角形的面積與梯形面積相等是關鍵．