Question

【題目】如圖，是的直徑，是上半圓的弦，過點作的切線交的延長線于點，過點作切線的垂線，垂足為，且與交于點，設，的度數分別是.

(1)用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍；

(2)連接與交于點，當點是的中點時，求，的值.

Answer 1

【答案】（1）β=90°-2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°.

【解析】

試題分析：（1）首先證明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根據兩銳角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推出△AFO是等邊三角形即可解決問題；

試題解析：（1）連接OC．

∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°（0°＜α＜45°），即β=90°-2α（0°＜α＜45°）．

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．

∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四邊形AFCO是平行四邊形，

∵OA=OC，∴四邊形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等邊三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，

∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．