Question

【題目】已知，經過點A（－4，4）的拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點B（－3，0）及原點O．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，平行于y軸的直線交線段AO于點Q，交拋物線于點P，當四邊形AHPQ為平行四邊形時，求∠AOP的度數；

（3）如圖2，若點C在拋物線上，且∠CAO＝∠BAO，試探究：在（2）的條件下，是否存在點G，使得△GOP∽△COA？若存在，請求出所有滿足條件的點G坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）∠AOP=∠AOH+∠POH=45o+45o=90o；

（3）存在，直線AC解析式為

【解析】試題分析：（1）根據已知點的坐標利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；

（2）設點P坐標為（m，m2+3m），從而得到直線OA的解析式為y=-x，然后表示出點Q的坐標為（m，-m），進而表示出PQ=-m-（m2+3m）=-m2-4m，利用當四邊形AHPQ為平行四邊形時，PQ=AH=4得到-m2-4m=4，從而求得m的值，進而確定答案；

（3）設AC交y軸于點D，由點A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，從而證得△AOD≌△AOB后表示點D坐標為（0，3），從而確定直線AC解析式，

試題解析：（1）由題意，得

，解得．

∴拋物線的解析式為y=x2+3x；

（2）設點P坐標為（m，m2+3m），其中-4＜m＜0

∵點A（-4，4），

∴直線OA的解析式為y=-x，

從而點Q的坐標為（m，-m）

∴PQ=-m-（m2+3m）=-m2-4m，

當四邊形AHPQ為平行四邊形時，PQ=AH=4，

即-m2-4m=4，解得m=-2

此時點P坐標為（-2，-2）

∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45°+45°=90°．

（3）設AC交y軸于點D，由點A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，

∵∠CAO=∠BAO，AO=AO，

∴△AOD≌△AOB，

∴OD=OB=3，點D坐標為（0，3），

設直線AC解析式為y=px+q，則

解得，

∴直線AC解析式為y＝x+3