Question

【題目】如圖，中，點是邊上一個動點，過作直線，設交的平分線于點，交的外角平分線于點．

探究：線段與的數量關系并加以證明；

當點運動到何處，且滿足什么條件時，四邊形是正方形？

當點在邊上運動時，四邊形會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形；（3）不可能，理由見解析.

【解析】

（1）探究問題，也就是證明問題，可以先假設，題中OE，OF可通過平行線，角平分線確定二者之間的關系．
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

解：．理由如下：

∵是的角平分線，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形．

∵當點運動到的中點時，，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四邊形是矩形．

已知，當，則

，

∴，

∴四邊形是正方形．

解：不可能．

如圖所示，

∵平分，平分，

∴，

若四邊形是菱形，則，

但在中，不可能存在兩個角為，所以不存在其為菱形．