Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一個動點，（點D不要B，C重合），以AD為邊在AD的上邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為_____；②AC、CD、CF之間的數量關系為_____．

（2）如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，以上①、②關系是否成立？若成立去，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由．

（3）如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GD，若AB=2，CD=BC，求出DG的長．

Answer 1

【答案】 BC⊥CF CF+CD=AC

【解析】分析：（1）①證出∠BAD=∠CAF，由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，證出∠ACF+∠ACB=90°，即可得出結論；②由全等三角形的性質得出BD=CF，證出CF=BC-CD即可；(2)、①證出∠BAD=∠CAF，由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，證出∠ACB+∠FCB=135°，得出∠FCB=90°，即可得出結論；

②由全等三角形的性質得出BD=CF，證出CF=CD-BC即可；(3)、由SAS證明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，證出∠FCB=∠ACF+∠ACB=90°，得出CF⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=AB=2，在Rt△AGC中，得出CG=AC=4，同理BC=4，CD=BC=1，在Rt△DCG中，由勾股定理即可求出DG的長．

詳解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

②∵△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC，又∵Rt△ABC中，BC=AC，

∴CF+CD=AC；

（2）①成立，②不成立，正確的結論為CD﹣CF=AC．

理由：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，

∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠ACB+∠FCB=135°， ∴∠FCB=90°， ∴BC⊥CF；

②∵△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵CD﹣BD=BC∴CD﹣CF=BC，

又∵Rt△ABC中，BC=AC， ∴CD﹣CF=AC；

（3）由題意得：∠BAC=∠FAD=90°， ∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BC，

在Rt△ABC中，AC=AB=2，BC=4，在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，

∴CG=AC=×2=4， ∵CD=BC=×4=1，

∴在Rt△DCG中，DG=．