Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)N，連結(jié)CM．

（1）如圖一，若點(diǎn)M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如圖二，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說(shuō)明理由）
②是否存在滿足條件的點(diǎn)P，使得PC= ？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖一中

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴ ，

∵AB=BC，

∴AN=AM．

（2）

解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如圖二中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴

∵AB=BC，

∴AN=AM．

②這樣的點(diǎn)P不存在．

理由：假設(shè)PC= ，

如圖三中，

以點(diǎn)C為圓心 為半徑畫(huà)圓，以AB為直徑畫(huà)圓，

CO= = ＞1+ ，

∴兩個(gè)圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，

∴假設(shè)不可能成立，

∴滿足PC= 的點(diǎn)P不存在

【解析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出 = = ，由△BAP∽△BNA，推出 = ，得到 = ，由此即可證明．（2）①結(jié)論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點(diǎn)P不存在．利用反證法證明．假設(shè)PC= ，推出矛盾即可．本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相似三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，最后一個(gè)問(wèn)題利用圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題，有一定難度，屬于中考?jí)狠S題．