Question

【題目】如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．

（1）求兩鐵塔軸線間的距離（即直線AB、CD間的距離）；
（2）若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸，取單位長度為1米，BA的延長方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米）．

設CD的延長線交地平面于點H．

設CH=x，BH=y

由△EBP∽△EHC得 = ，即 = ①

由△FBA∽△FHC得 = ，即 = ②

由①②解得：x=60，y=100

答：兩鐵塔軸線間的距離為100米；

（2）

解：依題意建立坐標系如圖，由（1）得CH=60米，C點比A點高20米，

這時A、C兩點的坐標為：A（0，0），C（100，20），

設拋物線頂點為P（x0，y0），

因為要求最低點高于地面為30﹣6=24（米），點A高度為40米，所以y0=﹣16．

設過點A的拋物線解析式為y=ax2+bx（a＞0），則該拋物線滿足：

化簡得：125b2+80b﹣16=0

解得：b1= ，b2=﹣

∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，有 ＞0，而a＞0

∴b＜0，故b1= 舍去

把b2=﹣ 代入前式得：a=

∴y= x2﹣ x

答：所求拋物線的解析式為y= x2﹣ x．

【解析】（1）根據題意，連接CA并延長到F，連接CP并延長到E，CD的延長線交地平面于點H．于是構造了兩對相似三角形：EBP∽△EHC，△FBA∽△FHC，利用相似三角形的性質，建立起AB、CD之間的關系式，解方程組即可；（2）因為點A為坐標原點，則可設過原點的二次函數解析式為y=ax2+bx（a＞0），將C（100，20）代入上式可得關于a、b的關系式，再根據二次函數頂點坐標公式和最低點高于地面為30﹣6=24（米），點A高度為40米，得到關于a、b的關系式，于是可以求出二次函數解析式．
【考點精析】通過靈活運用關于坡度坡角問題，掌握坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA即可以解答此題．