Question

【題目】已知二次函數中x和y的部分對應值如下表：

x … ﹣1 0 1 2 3 …

y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖，點P是直線BC下方拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積；

（3）在拋物線上，是否存在一點Q，使△QBC中QC=QB？若存在請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣），；（3）Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（2）首先求得直線BC的解析式，過P作PN⊥x軸交直線BC于點M，然后根據S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB，即可把S△BPC表示成P的橫坐標x的函數，根據函數的性質求最值；

（3）QC=QB，則Q就是線段BC的中垂線與二次函數的交點，首先求得BC的解析式，然后解方程組即可．

解：（1）設y=a（x+1）（x﹣3）把（0，﹣3）代入可得：﹣3=a（0+1）（0﹣3）

解得：a=1則y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∴二次函數的解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPC=×1×3+S△BPC，

設直線BC的解析式是y=kx+b，

則，

解得：，

則直線BC的解析式是：y=x﹣3．

過P作PN⊥x軸交直線BC于點M，設P（x，x2﹣2x﹣3）則M（x，x﹣3）

∴MP=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x

S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB

=PMOB=（﹣x2+3x）×3=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3）．

當x=時，S△BPC的最大值為，則 S四邊形ABPC的最大值為：+=，

此時P（，﹣）；

（3）BC的中點坐標是（，﹣）．

設線段BC的中垂線的解析式是y=﹣x+c，則﹣+c=﹣，

解得c=0，

即BC的中垂線的解析式是y=﹣x．

根據題意得：，

解得：或．

則Q的坐標是：Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．