Question

【題目】如圖，正方形ABCD，AB=6，點E在邊CD上，CE=2DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正確結論是 ．

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：∵正方形ABCD的邊長為6，CE=2DE， ∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正確；
設BG=x，則GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2 ，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2 ， 解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正確；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正確；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正確；
過F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴ = ，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為： = ，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣ ×4×（ ×3）= =3.6，
連接AC，
∵CF∥AG，
∴S△FCA=S△FGC=3.6，
所以⑤正確．
故正確的有①②③④⑤，
故答案為：①②③④⑤．

先計算出DE=2，EC=4，再根據折疊的性質AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根據“HL”可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，則GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE= ∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；設BG=x，則GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根據勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2 ， 解得x=3，則BG=CG=3，則點G為BC的中點；同時得到GF=GC，根據等腰三角形的性質得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根據三角形外角性質得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根據平行線的判定方法得到CF∥AG；過F作FH⊥DC，則△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比為 ，可計算S△FGC ． 根據同底等高的三角形的面積相等即可得到結論．