Question

【題目】如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F．求證：BF=2CF．

Answer 1

【答案】證明：連接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= =30°，
∵AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，
∴CF=AF（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等邊對等角），
∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），
∴BF=2CF（等量代換）．

【解析】利用輔助線，連接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根據AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度數，由直角三角形的性質即可求出BF=2AF=2CF．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．