Question

【題目】定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．

理解：

（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點A在BP邊上，且AB=13．用圓規在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）13、或．

【解析】

試題分析：（1）由對等四邊形的定義，畫圖即可；

（2）連接AC，BD，證明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直徑，所以AB≠CD，即可解答；

（3）根據對等四邊形的定義，分兩種情況：①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性質，求出相關相關線段的長度，即可解答．

試題解析：（1）如圖1所示（畫2個即可）；

（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∵AB=BA，BD=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）如圖3，點D的位置如圖所示，

①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F，設BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，，即，解得：x=5或x=﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，FD2===，∴=，=，綜上所述，CD的長度為13、或．