Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，矩形ABCD的邊AD與x軸的正半軸重合，另三邊都在第四象限內，已知點A（1，0），AB=2，AD=3，點E為OD的中點，以AD為直徑作⊙M，經過A、D兩點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P．
（1）求經過C、E兩點的直線的解析式；
（2）如果點P同時在⊙M和矩形ABCD內部，求a的取值范圍；
（3）過點B作⊙M的切線交邊CD于F點，當PF∥AD時，判斷直線CE與y軸的交點是否在拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法易得直線CE的解析式為y=-x+2；
（2）A（1，0），D（4，0）代入解析式得y=ax²-5ax+4a，可知定點（

5

2

，-

9a

4

），根據(jù)點P同時在⊙M和矩形ABCD內部可列不等式

a＞0 - 3 2 ＜- 9a 4 ＜0

，解得0＜a＜

2

3

；
（3）設DF=d，則3²+（2-d）²=（2+d）²，得d=

9

8

，根據(jù)

9

4

a=

9

8

，可知a=

1

2

，所以y=

1

2

x²+（-

5

2

）x+2，把（0，2）代入可知CE與y軸的交點在拋物線上．

解答：解：
（1）由題意得E（2，0），C（4，-2）1分
故易得直線CE的解析式為y=-x+2   3分

（2）A（1，0），D（4，0）代入拋物線
解析式得y=ax²-5ax+4a
定點（

5

2

，-

9a

4

）4分
∴

a＞0 - 3 2 ＜- 9a 4 ＜0

得0＜a＜

2

3

6分

（3）設DF=d，則3²+（2-d）²=（2+d）²
∴d=

9

8

8分
由

9

4

a=

9

8

知a=

1

2

，∴y=

1

2

x²+（-

5

2

）x+2，把（0，2）代入可知CE與y軸的交點在拋物線上．

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓的有關性質，函數(shù)圖象上點的意義等．要熟練掌握才能靈活運用．