Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F，CG是AB邊上的高．

（1）當D點在BC的什么位置時，DE=DF？請說明理由．

（2）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并說明理由.

（3）若D在底邊BC的延長線上，（2）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當點D在BC的中點時，DE=DF，理由見解析；（2）DE+DF=CG．理由見解析；（3）當點D在BC延長線上時，（2）中的結論不成立，但有DE﹣DF=CG．理由見解析.

【解析】分析：（1）當點D在BC的中點時，DE=DF，根據AAS證△BED≌△CFD，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）連接AD，根據三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進行分析證明；
（3）類似（2）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．

詳解：（1）當點D在BC的中點時，DE=DF，理由如下：

∵D為BC中點，∴BD=CD，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，

在△BED和△CFD中

∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．

（2）DE+DF=CG．

理由：連接AD，

則S△ABC=S△ABD+S△ACD，即ABCG=ABDE+ACDF，

∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（3）當點D在BC延長線上時，（2）中的結論不成立，但有DE﹣DF=CG．

理由：連接AD，則S△ABD=S△ABC+S△ACD，即ABDE=ABCG+ACDF

∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．

同理當D點在CB的延長線上時，（2）中結論不成立，則有DE﹣DF=CG，說明方法同上．