Question

（2009•烏魯木齊）如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；
（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：本題綜合考查了三角形全等、一次函數、二次函數，及線段最短和探索性的問題．
（1）通過△POC≌△POD而證得PC=PD．
（2）首先要確定P點的位置，再求出P、F兩點坐標，利用待定系數法求的拋物線解析式；
（3）此問首先利用對稱性確定出P點位置是EC與∠AOC的平分線的交點，再利用拋物線與直線CE的解析式求出交點P的坐標．進而求的△PED的周長；
（4）要使∠CPN=90°，則P點是以CN的中點為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點，由此就易于寫出P點的坐標．
解答：解：（1）∵點D是OA的中點，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分線，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）過點B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點P即為所求．
易知點F的坐標為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=BF=1，
∴點P的坐標為（3，3）．
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx．
又∵拋物線經過點P（3，3）和點D（2，0），
∴有
解得
∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于∠AOC的平分線的對稱點即為C點．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點即為所求的P點（因為PE+PD=EC，而兩點之間線段最短），此時△PED的周長最小．
∵拋物線y=x²-2x的頂點E的坐標（1，-1），C點的坐標（0，2），
設CE所在直線的解析式為y=kx+b，
則有，
解得．
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2．
點P滿足，
解得，
故點P的坐標為．
△PED的周長即是CE+DE=+；

（4）假設存在符合條件的P點．矩形的對稱中心為對角線的交點，故N（2，1）．
①當P點在N點上方時，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，顯然F點符合P點的要求，故P（2，2）；
②當P點在N點下方時，設P（a，a），則：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=或a=2，故P（，），
綜上可知：存在點P，使∠CPN=90度．其坐標是或（2，2）．
點評：函數與四邊形或三角形的綜合考查，是近幾年中考的一個熱點問題．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握多邊形與函數的概念與性質及兩者之間的聯系．