Question

【題目】【問題提出】如圖1，四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積．

【嘗試解決】

旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．

（1）如圖2，連接 BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，則△BDB′的形狀是 ．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積．

[類比應(yīng)用]如圖3，四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四邊形ABCD的面積．

考點(diǎn)：幾何變換綜合題．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析:（1）易證△DEB≌△DAB′，則BD=DB′，∠BDB′=60°，所以△BDB′是等邊三角形；

（2）知等邊三角形的邊長為3，求出S△BDB′即可；

【類比應(yīng)用】類比（1），連接 BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；易證△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算AE=B′E=1，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面積和即可．

解：（1）如圖2，連接 BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，

∵BD=B′D，∠BDB′=60°

∴△BDB′是等邊三角形；

（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，

∴四邊形ABCD的面積=等邊三角形BDB′的面積，

∵BC=AB′=1

∴BB′=AB+AB′=2+1=3，

∴S四邊形ABCD=S△BDB′==；

【類比應(yīng)用】如圖3，連接 BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，

連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；

∵，

∴△BCD≌△B′AD

∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A，

∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，

∴∠BAB′=135°

∴∠B′AE=45°，

∵B′A=BC=，

∴B′E=AE=1，

∴BE=AB+AE=2+1=3，

∴BB′=，

∴S△ABB′=ABB′E=×2×1=1，

S△BDB′==，

∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A=S△BDB′﹣S△ABB′=﹣1．