Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D點在⊙O上，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD= BC=2，BD=BCcos30°=2 ，

∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，

∴S△ABC= ABCD= ×4 ×2=4 ，

∵DE⊥AC，

∴DE= AD= ×2 = ，

AE=ADcos30°=3，

∴S△ODE= ODDE= ×2× = ，

S△ADE= AEDE= × ×3= ，

∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，

∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 ﹣ ﹣ ﹣ = ．

【解析】（1）證DE為⊙O的切線，就得證DE垂直過D點的半徑，為此連接OD、CD，可證出OD是△ABC的中位線可得OD∥AC，由已知可得證；
（2）結合圖形可知，S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE，所以先求出S△ABC、S△BOD、S△ODE、S△ADE，為此利用三角函數的性質求出BD、DE、AE的長，繼而求得答案.