Question

【題目】如圖，已知的半徑為 4，是圓的直徑，點是的切線上的一個動點，連接交于點，弦平行于，連接.

(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；

(2)當__________時，四邊形為菱形；

(3)當___________時，四邊形為正方形.

Answer 1

【答案】【解析】(1)證明見解析；⑵60°；⑶ .

【解析】

（1）根據EF∥AB，可以得到∠FAB和∠CAB的關系，可證得△ACB≌△AFB，可求得∠AFB=90°，可得出結論；
（2）根據四邊形ADFE為菱形，通過變形可以得到∠CAB的度數；
（3）根據四邊形ACBF為正方形，AC=4，AF⊥AE且AF=AE，利用勾股定理可求得EF的長

(1)BF與⊙A相切，理由如下：

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB，∠AFE=∠FAB，

又∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中

∴△ABC≌△ABF(SAS)；

∴∠AFB=∠ACB =90°，

∴直線BF與⊙A相切.

(2)連接CF，如右圖所示，

若四邊形ADFE為菱形，則AE=EF=FD=DA，

又∵CE=2AE，CE是圓A的直徑，

∴CE=2EF,∠CFE=90°，

∴∠ECF=30°，

∴∠CEF=60°，

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB，

∴∠CAB=60°，

故答案為60°；

(3)若四邊形ACBF為正方形，則AC=CB=BF=FA=4，且AF⊥AE，

∴

故答案為.